Tìm tất cả các hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện \(f\left(2010-f\left(0\right)\right)=2010x^2\) \(\forall x\in R\)
Cho hàm số \(f\left(x\right)\) có đạo hàm \(f'\left(x\right)\) liên tục trên \(R\) và thỏa mãn các điều kiện \(f\left(x\right)>0,\forall x\in R\), \(f\left(0\right)=1\) và \(f'\left(x\right)=-4x^3.\left(f\left(x\right)\right)^2,\forall x\in R\). Tính \(I=\int_0^1x^3f\left(x\right)dx\)
A.\(I=\dfrac{1}{6}\) B. \(I=ln2\) C. \(I=\dfrac{1}{4}\) D. \(I=\dfrac{ln2}{4}\)
Mình cần bài giải ạ, mình cảm ơn nhiều♥
\(f'\left(x\right)=-4x^3\left(f\left(x\right)\right)^2\Leftrightarrow-\dfrac{f'\left(x\right)}{\left(f\left(x\right)\right)^2}=4x^3\)
Lấy nguyên hàm hai vế
\(\int-\dfrac{f'\left(x\right)}{\left(f\left(x\right)\right)^2}dx=\int4x^3dx\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{f\left(x\right)}=x^4+c\)
Thay x=0 vào tìm được c=1 \(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^4+1}\)
\(I=\int\limits^1_0\dfrac{x^3}{x^4+1}dx=\dfrac{1}{4}\int\limits^1_0\dfrac{\left(x^4+1\right)'}{x^4+1}dx=\dfrac{ln2}{4}\)
Chọn D
1. Tìm tất cả các giá trị của \(a\) sao cho tồn tại duy nhất một hàm \(f:ℝ\rightarrowℝ\) thỏa mãn điều kiện \(f\left(x^2+y+f\left(y\right)\right)=\left[f\left(x\right)\right]^2+ay,\forall x,y\inℝ\)
2. Tìm tất cả các hàm \(f:ℝ^+\rightarrowℝ^+\) thỏa mãn \(f\left(x\right).f\left(y\right)=f\left(x+yf\left(x\right)\right),\forall x,y\inℝ^+\)
Giúp mình 2 bài này với, ngày mai là mình phải nộp rồi, cảm ơn các bạn trước nhé.
bạn ơi có thể ghi lại rõ hơn được không nhỉ mình nhìn hơi rối á
Bạn nhấn chữ "Đọc tiếp" ở ngay dưới câu hỏi chưa? Nếu bạn chưa nhấn thì nhấn đi, nó tự xuống dòng đó.
Tìm tất cả hàm số \(f:R\rightarrow R\) thỏa mãn\(f\left(f\left(x+y\right).f\left(x-y\right)\right)=x^2-y.f\left(y\right)\) \(\forall x,y\in R\)
1. Chứng minh rằng mọi hàm \(f:ℝ\rightarrowℝ\) thỏa mãn \(f\left(xy+x+y\right)=f\left(xy\right)+f\left(x\right)+f\left(y\right),\forall x,y\inℝ\)
2. Xác định tất cả các hàm số \(f\) liên tục trên \(ℝ\) thỏa mãn điều kiện \(f\left(2x-y\right)=2f\left(x\right)-f\left(y\right),\forall x,y\inℝ\)
Tìm tất cả các hàm số \(f:\left(0;+\infty\right)\rightarrow\left(0;+\infty\right)\) thỏa mãn
\(f\left(x+f\left(y\right)+y\right)=f\left(2x\right)+f\left(y\right),\forall x,y\in\left(0;+\infty\right)\)
Tìm tất cả hàm số \(f:R^+\rightarrow R^+\) thoả mãn:
\(f\left(x^2+y^2\right)=f\left(xy\right),\forall x,y\in R^+\)
Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên R thõa mãn các điều kiện sau:
\(\hept{\begin{cases}f\left(x\right)>0,\forall x\in R\\f'\left(x\right)=-e^xf^2\left(x\right),\forall x\in R\\f\left(o\right)=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Hãy tính \(f\left(ln2\right)\).
1) Xác định tất cả các hàm số \(f:ℕ\rightarrowℕ\) thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện: \(f\left(2\right)=2\) và \(f\left(mn\right)=f\left(m\right).f\left(n\right)\).
2) Tìm tất cả các hàm \(f:ℤ^+\rightarrowℤ^+\) thỏa mãn \(f\left(f\left(n\right)+m\right)=n+f\left(m+2023\right)\)
Giúp mình mấy bài này với ạ, này là 2 câu khó nhất trong bài về nhà của mình, ngày mốt là phải nộp rồi. Mình cảm ơn các bạn trước nhé.
câu 2:
a) Trước tiên ta chứng minh f đơn ánh. Thật vậy nếu f (n1) = f (n2) thì
f (f(n1) + m) = f (f(n2) + m)
→n1 + f(m + 2003) = n2 + f(m + 2003) → n1 = n2
b) Thay m = f(1) ta có
f (f(n) + f(1)) = n + f (f(1) + 2003)
= n + 1 + f(2003 + 2003)
= f (f(n + 1) + 2003)
Vì f đơn ánh nên f(n)+f(1) = f(n+1)+2003 hay f(n+1) = f(n)+f(1)−2003. Điều này dẫn đến
f(n + 1) − f(n) = f(1) − 2003, tức f(n) có dạng như một cấp số cộng, với công sai là f(1) − 2003,
số hạng đầu tiên là f(1). Vậy f(n) có dạng f(n) = f(1) + (n − 1) (f(1) − 2003), tức f(n) = an + b.
Thay vào quan hệ hàm ta được f(n) = n + 2003, ∀n ∈ Z
+.
Tìm tất cả các hàm số \(f:ℝ^+\rightarrowℝ^+\) thỏa mãn:
\(f\left(x+yf\left(x\right)\right)=f\left(x\right)+xf\left(y\right),\forall x,y\inℝ^+\)